Soient \(A,B,C\) trois points non alignés
Montrer que \(\lambda\mapsto(1-\lambda)A+\lambda B\) est une paramétrisation régulière de la droite \((AB)\)

C'est une paramétrisation : retrouver la relation à partir du fait que \(M\in(AB)\) par équivalences successives
On a $$\begin{align} M\in(AB)&\iff\exists \lambda\in{\Bbb R},\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}\\ &\iff\exists\lambda\in{\Bbb R},M-A=\lambda(B-A)\\ &\iff\exists\lambda\in{\Bbb R},M=(1-\lambda)A+\lambda B\end{align}$$

Régularité : la dérivée ne s'annule pas car \(A\ne B\)

$$f(\lambda)=A+\lambda\overrightarrow{AB}\implies f^\prime(\lambda)=\overrightarrow{AB}\ne0$$ donc la paramétrisation est régulière

(Courbe régulière)

\(\lambda\mapsto(1-\lambda)A+\lambda B\) est une paramétrisation régulière de la droite \((AB)\)
Sous quelles conditions cette paramétrisation est "par la longueur d'arc" ?

Par définition

$$f(\lambda)=A+\lambda\overrightarrow{AB}\implies f^\prime(\lambda)=\overrightarrow{AB}$$ on cherche \(\lVert f^\prime(\lambda)\rVert=1\), donc le critère est \(\lVert\overrightarrow{AB}\rVert=1\)

(Courbe paramétrée par la longueur d'arc)